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#. Título: Simulação da Origem distribuição F (Snedecor)
#. Curso : Introdução à estatística
#. Autor : José Cláudio Faria/UESC/DCET
# Data  : 2026-01-09 12:03:20
# Pacote necessário: fdth
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# Objetivos gerais
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# a) Apresentar os recursos básicos do R para a Inferência Estatística - IE;
# b) Fundamentar o estudante nos mecanismos básicos da IE.
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# O que o código faz
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# a) Simula o numerador: gera df1 variáveis normais (m=0, sd=1), eleva ao quadrado e as soma (formando uma Qui-quadrado)
# b) Simula o denominador: faz o mesmo com df2 variáveis
# c) Cria a razão: divide cada Qui-quadrado pelo respectivo grau de liberdade e calcula a razão entre elas
# d) Compara: o histograma mostra os dados gerados 'do zero', enquanto a linha vermelha é a função df() nativa do R,
#    provando que a origem da distribuição F é a razão entre duas variáveis com distribuição Qui-quadrado

#. Origem distribuição F (Snedecor)
#.. ___Ini opções___
mostrar_curva_F <- T
n_sim <- 1e4   # Número de simulações

#... Tamanho das amostras
df1 <-  3   # Graus de liberdade do numerador
df2 <- 12   # Graus de liberdade do denominador
#.. ___Fim opções___

#.. Gerando a Distribuição F 'na mão'
# Passo A: Gerar amostras da Normal Padrão Z ~ N(0,1)
# Passo B: Elevar ao quadrado e somar para obter Qui-quadrado
generate_chisq <- function(n,
                           df)
{
  replicate(n,
            sum(rnorm(df)^2))
}

g_chisq_1 <- generate_chisq(n_sim,
                            df1)

g_chisq_2 <- generate_chisq(n_sim,
                            df2)

chisq_sim_1 <- g_chisq_1 / df1
chisq_sim_2 <- g_chisq_2 / df2

# Passo C: Calcular a razão F=(Qui-quadrado_1/df1)/(Qui-quadrado_2/df2)
f_sim <- chisq_sim_1/chisq_sim_2

#.. Visualização
def.par <- par(no.readonly=TRUE) # Salva default

layout(matrix(c(1, 1, 2,
                1, 1, 3),
              nc=3,
              byrow=T))

require(fdth)
titulo <- bquote("Simulação da origem da distribuição F via razão (" ~ chi[1]^2/chi[2]^2 ~ ") de variáveis" ~ chi^2)
plot(fdt(f_sim,
         k=150),
     typ='d',
     col='lightblue',
     xlab='F',
     ylab='Densidade',
     xlim=c(0,
            max(f_sim)),
     main=titulo)

# Sobrepor a curva teórica do R para conferência
if (mostrar_curva_F) {
  curve(df(x,
           df1,
           df2),
        add=TRUE,
        n=1e3,
        col='red',
        lwd=3)
}

# Legenda
l_1 <- expression(X[1]^2 / X[2]^2)

l_2 <- substitute(paste('F (',
                        df[1],
                        '=',
                        s1,
                        ', ',
                        df[2],
                        '=',
                        s2,
                        ')'
                        ),
                  list(s1=df1,
                       s2=df2))

legend('topright',
       legend=c(l_1,
                l_2),
       col=c('lightblue',
             'red'),
       lwd=c(6,
             3))

plot(fdt(g_chisq_1,
         k=50),
     main=expression(X[1]^2),
     typ='d',
     col='lightblue',
     xlab=expression(X^2),
     ylab='Densidade',
     xlim=c(0,
            max(g_chisq_1)))

# Sobrepor a curva teórica do R para conferência
curve(dchisq(x,
             df=df1),
      add=TRUE,
      n=1e3,
      col='red',
      lwd=3)

plot(fdt(g_chisq_2,
         k=50),
     main=expression(X[2]^2),
     typ='d',
     col='lightblue',
     xlab=expression(X^2),
     ylab='Densidade',
     xlim=c(0,
            max(g_chisq_2)))

# Sobrepor a curva teórica do R para conferência
curve(dchisq(x,
             df=df2),
      add=TRUE,
      n=1e3,
      col='red',
      lwd=3)

par(def.par)   # Restabelece default

#.. Síntese
# Em poucas palavras:
# A distribuição F (de Snedecor) descreve como se distribui a razão
# entre duas variáveis com distribuição Qui-quadrado cada uma dividida
# pelos resectivos graus de liberdade. Que em outras palavras, é o mesmo
# que descrever a razão entre duas estimativas da variância de uma normal qualquer.