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#. Título: Inferência Estatística - Origem distribuição F (Snedecor)
#. Curso : Introdução à estatística
#. Autor : José Cláudio Faria/UESC/DCET
# Data  : 2026-01-10 11:37:49
# Pacote necessário: fdth
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# Objetivos gerais
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# a) Apresentar os recursos básicos do R para a IE;
# b) Fundamentar o estudante nos mecanismos básicos da IE.
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# Objetivos específicos
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# a) Amostrar repetidamente pares de amostras (tamanhos definidos pelo usuário)
#    de uma população normal qualquer: Y ~ N(Mu, Sigma);
# b) Estimar a variância a partir de cada amostra e calcular a razão entre as
#    duas estimativas;
# c) Plotar o histograma dos valores, que deve ser semelhante a função F
#    (para os tamanhos de amostras defindos pelo usuário) se o número de
#    repetições do processo for suficiente para se aproximar do limite;
# d) Sobrepor ao histograma a função densidade de probabilidade específica.
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#.. ___Ini opções___
mostrar_curva_F <- T

#... Tamanho das amostras
nN <-  4  # Tamanho da amostra (n_sim) do Numerador (N)
nD <- 13  # Tamanho da amostra (n_sim) do Denominador (D)

#... Características da população
#... Normal
Mu    <-   10
Sigma <-    2

#... Normal padrão
#Mu    <- 0
#Sigma <- 1

#... Número de simulações
n_sim <- 1e4  # Usar:
              # 1e3, 1e4, 1e5 para modelar
              # 1e1  para estudar detalhadamente

#... Erro adotado na inferência
erro <- 5/100
#.. ___Fim opções___

#. Simulação
#.. Estimativas da variância do numerador
s2N <- apply(matrix(rnorm(n_sim*nN,
                          Mu,
                          Sigma),
                    ncol=nN),
             1,
             var)

#.. Estimativas da variância do denominador
s2D <- apply(matrix(rnorm(n_sim*nD,
                          Mu,
                          Sigma),
                    ncol=nD),
             1,
             var)

#.. Razão entre as duas estimativas da variância de uma Normal
F_sim <- s2N/s2D

#.. Graus de liberdade
df1 <- nN-1
df2 <- nD-1

#. Visualização
#.. Observando a distribuição da razão das estimativas da variância: observacional
def.par <- par(no.readonly=TRUE) # Salva default

require(fdth)
titulo <- bquote("Simulação da origem da distribuição F via razão (" ~ s[1]^2/s[2]^2 ~ ") de variáveis" ~ eta)
plot(fdt(F_sim,
         k=150),
     ty='d',
     xlim=c(0,
            round(max(F_sim))),
     ylim=c(0,
            1.2),
     main=titulo,
     xlab='F',
     ylab='Densidade')

#.. Sobrepondo a curva de densidade de probabilidades: teórica
if(mostrar_curva_F) {
curve(df(x,
         df1,
         df2),
      n=1e4,
      col='darkblue',
      add=TRUE,
      lwd=3)
}

# F limite
F_lim <- qf(erro,
            df1,
            df2,
            lower=FALSE)

# Linha decisão
segments(x0=F_lim,
         y0=0,
         x1=F_lim,
         y1=1,
         col='red',
         lty=3)

# Texto das hipóteses
text(x=c(F_lim,
         F_lim),
     y=.8,
     col=c('darkgreen',
           'red'),
     labels=c('RAH0',
              'RRH0'),
     pos=c(2, 4))

# Texto do erro
l_1 <- bquote("Erro tipo I (" * alpha * ") =" ~ .(100 * erro) * "%")

text(x=F_lim,
     y=.3,
     col='red',
     pos=4,
     labels=l_1)

# Valor do erro
l_2 <- substitute(paste('F (',
                        df[1],
                        '=',
                        s1,
                        ', ',
                        df[2],
                        '=',
                        s2,
                        ')',
                        ' = ',
                        s3
                        ),
                  list(s1=df1,
                       s2=df2,
                       s3=F_lim))

text(x=F_lim,
     y=1,
     pos=3,
     col='red',
     label=l_2)

if (mostrar_curva_F) {
  # Achuras sob a curva
  xa1 <- seq(0,
             F_lim,
             len=1e3)
  
  ya1 <- df(xa1,
            df1=df1,
            df2=df2)
  
  # Para evitar Inf no caso da amostra do numerador ser de tamanho 2
  ya1 <- sub(Inf,
             1e2,
             ya1)
  
  polygon(x=c(0,
              xa1,
              F_lim),
          y=c(0,
              ya1,
              0),
          col=adjustcolor('darkgreen',
                          alpha.f=.2),
          border='darkgreen')
  
  xa2 <- seq(F_lim,
             20,
             len=1e3)
  
  ya2 <- df(xa2,
            df1=df1,
            df2=df2)
  
  polygon(x=c(F_lim,
              xa2),
          y=c(0,
              ya2),
          col=adjustcolor('red',
                          alpha.f=.2),
          border='red')
}

#.. Síntese
# Em poucas palavras:
# A distribuição F (de Snedecor) descreve como se distribui a razão
# entre duas estimativas da variância
# de uma distribuição normal X~N(Mu, Sigma) qualquer!